Obliczanie objętości

Zobacz też: Kształty trójwymiarowe

Ta strona wyjaśnia, jak obliczyć objętość ciał stałych, tj. Ile można zmieścić w obiekcie, jeśli na przykład wypełniłeś go cieczą.

Powierzchnia jest miarą tego, ile miejsca znajduje się w dwuwymiarowym obiekcie (patrz nasza strona: Obliczanie powierzchni po więcej).

Objętość jest miarą ilości miejsca w trójwymiarowym obiekcie. Nasza strona na trójwymiarowe kształty wyjaśnia podstawy takich kształtów.



W prawdziwym świecie obliczanie objętości prawdopodobnie nie jest czymś, czego będziesz używać tak często, jak obliczanie powierzchni.

Jednak nadal może być ważne. Możliwość obliczenia objętości pozwoli ci na przykład obliczyć, ile masz miejsca do pakowania podczas przeprowadzki, ile potrzebujesz powierzchni biurowej lub ile dżemu możesz zmieścić w słoiku.

Może to być również przydatne do zrozumienia, co media mają na myśli, gdy mówią o pojemności tamy lub przepływu rzeki.

Obliczanie powierzchni i objętości. Powierzchnia jest mierzona w jednostkach do kwadratu, ile kwadratów zmieści się w płaskiej (dwuwymiarowej przestrzeni)? Objętość jest mierzona w jednostkach sześciennych, ile sześcianów zmieści się w bryły (trójwymiarowy) obiekt?

Uwaga dotycząca jednostek

jak uzyskać poczucie humoru

Powierzchnia jest wyrażona w jednostkach kwadratowych, ponieważ jest to dwa pomnożone razem pomiary.

Objętość wyrażana jest w jednostkach sześciennych, ponieważ jest to suma trzech pomiarów (długość, szerokość i głębokość) pomnożonych razem. Jednostki sześcienne obejmują cm3, m3i stopy sześcienne.

OSTRZEŻENIE!

Objętość można również wyrazić jako pojemność cieczy.

System metryczny

W systemie metrycznym pojemność cieczy mierzona jest w litrach, co jest bezpośrednio porównywalne z pomiarem sześciennym, ponieważ 1 ml = 1 cm3. 1 litr = 1000 ml = 1000 cm3.

System imperialny / angielski

W systemie imperialnym / angielskim miarami równoważnymi są uncje płynu, pinta, kwarty i galony, które nie są łatwo przeliczane na stopy sześcienne. Dlatego najlepiej jest trzymać się płynnych lub stałych jednostek objętości.

Więcej informacji można znaleźć na naszej stronie Systemy pomiarowe


Podstawowe wzory do obliczania objętości

Objętość brył opartych na prostokątach

Powierzchnia = szerokość x długość. Objętość = szerokość x długość x wysokość.

Natomiast podstawową formułą dla obszaru o kształcie prostokąta jest długość × szerokość, podstawową formułą objętości jest długość × szerokość × wysokość.

To, jak odnosisz się do różnych wymiarów, nie zmienia obliczeń: możesz na przykład użyć „głębokości” zamiast „wysokości”. Ważne jest, aby te trzy wymiary zostały pomnożone razem. Możesz mnożyć w dowolnej kolejności, ponieważ nie zmieni to odpowiedzi (zobacz naszą stronę na mnożenie po więcej).

Pudełko o wymiarach 15cm szerokości, 25cm długości i 5cm wysokości ma pojemność:
15 × 25 × 5 = 1875 cm3

Objętość pryzmatów i cylindrów

Ta podstawowa formuła może zostać rozszerzona na objętość cylindry i pryzmaty zbyt. Zamiast prostokątnego końca masz po prostu inny kształt: okrąg na cylindry, trójkąt, sześciokąt lub właściwie dowolny inny wielokąt na pryzmat.

W rzeczywistości w przypadku cylindrów i pryzmatów objętość to powierzchnia jednej strony pomnożona przez głębokość lub wysokość kształtu.

Podstawowy wzór na objętość pryzmatów i walców jest zatem następujący:

Powierzchnia kształtu końcowego × wysokość / głębokość pryzmatu / walca.


Objętość stożków i piramid

Ta sama zasada, co powyżej (szerokość x długość x wysokość) obowiązuje przy obliczaniu objętości stożka lub piramidy, z tym wyjątkiem, że ponieważ dochodzą do punktu, objętość jest tylko częścią całości, jaka byłaby, gdyby kontynuowały w ten sam kształt na wskroś.

Objętość stożka lub piramidy to dokładnie jedna trzecia objętości pudełka lub cylindra o tej samej podstawie.

Formuła jest zatem taka:

Powierzchnia podstawy lub kształtu końcowego × wysokość stożka / ostrosłupa ×1/3

Wróć do naszej strony Obliczanie powierzchni jeśli nie pamiętasz, jak obliczyć pole koła lub trójkąta.

Na przykład, aby obliczyć objętość stożka o promieniu 5 cm i wysokości 10 cm:

Obszar w okręgu = πr2 (gdzie π (pi) wynosi w przybliżeniu 3,14, a r jest promieniem koła).

W tym przykładzie pole podstawy (koło) = πrdwa= 3,14 × 5 × 5 = 78,5 cmdwa.

78,5 x 10 = 785

785 × 1/3 = 261,6667 cm3

Oblicz objętość kuli. 4/3 x pi x promień do kostki.

Objętość kuli

Podobnie jak w przypadku koła, potrzebujesz π (pi), aby obliczyć objętość kuli.

Formuła to 4/3 × π × promień3.

Możesz się zastanawiać, jak obliczyć promień piłki. Nie wystarczy wbić w nią igły dziewiarskiej (skuteczna, ale końcówka do piłki!), Ale jest prostszy sposób.

Możesz zmierzyć odległość wokół najszerszego punktu kuli bezpośrednio, na przykład za pomocą taśmy mierniczej. Ten okrąg jest obwodem i ma taki sam promień jak sama kula.

Obwód koła oblicza się jako 2 x π x promień.

Aby obliczyć promień z obwodu, należy:

Podziel obwód przez (2 x π) .


Przykłady praktyczne: Obliczanie objętości


Przykład 1

Cylinder o długości 20cm i promieniu 2,5cm
Oblicz objętość cylindra o długości 20 cm, którego okrągły koniec ma promień 2,5 cm.

Najpierw oblicz obszar jednego z okrągłych końców cylindra.

Pole koła to πrdwa(Liczba Pi × promień × promień). π (pi) wynosi około 3,14.

Obszar końca to zatem:

3,14 x 2,5 x 2,5 = 19,63 cmdwa

Plik Tom to powierzchnia końca pomnożona przez długość, a zatem wynosi:

19,63 cmdwax 20cm = 392,70cm3




Kula o promieniu 2 cm i ostrosłup o podstawie kwadratu 2,5 cm i wysokości 10 cm.

Przykład 2

Która jest większa pod względem objętości, kula o promieniu 2 cm czy piramida o podstawie 2,5 cm kwadratowej i wysokości 10 cm?

Najpierw oblicz objętość kuli .

Objętość kuli wynosi 4/3 × π × promień3.

Objętość kuli wynosi zatem:

4 ÷ 3 x 3,14 × 2 × 2 × 2 = 33,51 cm3

Następnie oblicz objętość piramidy .

Objętość piramidy to 1/3 × powierzchnia podstawy × wysokość.

Powierzchnia podstawy = długość × szerokość = 2,5 cm × 2,5 cm = 6,25 cmdwa

Objętość wynosi zatem 1/3 x 6,25 x 10 = 20,83 cm3

Kula jest więc większa pod względem objętości niż piramida.



Obliczanie objętości nieregularnych ciał stałych

Podobnie jak możesz obliczyć powierzchnię nieregularnych dwuwymiarowych kształtów, dzieląc je na zwykłe, możesz zrobić to samo, aby obliczyć objętość nieregularnych brył. Po prostu podziel bryłę na mniejsze części, aż uzyskasz tylko bryły, z którymi możesz łatwo pracować.


Przykład praktyczny

Oblicz objętość cylindra wodnego o całkowitej wysokości 1 m, średnicy 40 cm i którego górna część jest półkulista.
Nieregularne ciało stałe. Okrągła podstawa o średnicy 40cm i łącznej wysokości 1m. Część górna jest półkulista.

Najpierw podziel kształt na dwie części, cylinder i półkulę (pół kuli).

Objętość kuli wynosi 4/3 × π × promień3. W tym przykładzie promień wynosi 20 cm (połowa średnicy). Ponieważ wierzchołek jest półkulisty, jego objętość będzie o połowę mniejsza niż pełna sfera. Objętość tej sekcji kształtu w związku z tym:

0,5 × 4/3 × π × 203 = 16755,16 cm3

Objętość cylindra to powierzchnia podstawy × wysokość. Tutaj wysokość walca to całkowita wysokość pomniejszona o promień kuli, który wynosi 1 m - 20 cm = 80 cm. Powierzchnia podstawy to πrdwa.

Objętość przekroju cylindrycznego tego kształtu wynosi zatem:

80 × π × 20 × 20 = 100 530,96 cm3

Całkowita objętość tego pojemnika na wodę wynosi zatem:
100 530,96 + 16 755,16 = 117 286,12 cm3.

To dość duża liczba, więc możesz chcieć przeliczyć ją na 117,19 litra, dzieląc ją przez 1000 (ponieważ jest to 1000 cm3w litrze). Jednak całkiem poprawne jest wyrażanie tego jako cm3ponieważ problem nie wymaga wyrażenia odpowiedzi w żadnej określonej formie.



Podsumowując…

Korzystając z tych zasad, w razie potrzeby powinieneś być w stanie obliczyć objętość prawie wszystkiego w swoim życiu, niezależnie od tego, czy jest to skrzynia do pakowania, pokój czy butla z wodą.

Kontynuuj:
Kształty trójwymiarowe
Arkusz referencyjny pola powierzchni, pola powierzchni i objętości