Wprowadzenie do trygonometrii

Zobacz też: Geometria wstępem

Trygonometria, jak nazwa może sugerować, dotyczy trójkątów.

Mówiąc dokładniej, trygonometria dotyczy trójkątów prostokątnych, w których jeden z kątów wewnętrznych wynosi 90 °. Trygonometria to system, który pomaga nam obliczyć brakujące lub nieznane długości boków lub kąty w trójkącie.

Więcej o trójkątach znajdziesz na naszej stronie Wielokąty jeśli będziesz musiał odświeżyć podstawy, zanim przeczytasz dalej tutaj.



Trójkąty prostokątne: przypomnienie

Trójkąt prostokątny ma pojedynczy kąt prosty. Z definicji oznacza to, że wszystkie boki nie mogą być tej samej długości. Poniżej pokazano typowy trójkąt prostokątny.

Ważne terminy dotyczące trójkątów prostokątnych


Trójkąt prostokątny przedstawiający przeciwną, sąsiadującą i przeciwprostokątną
  • Plik prosty kąt wskazuje małe okienko w rogu.

  • Drugi kąt, który (zwykle) znamy, jest oznaczony przez θ (theta) .

  • Strona przeciwna do kąta prostego, która jest najdłuższym bokiem, nazywana jest przeciwprostokątna .

  • Strona przeciwna θ nazywa się naprzeciwko .

  • Strona obok θ, która nie jest przeciwprostokątną, nazywa się sąsiadujący .

Twierdzenie Pitagorasa a trygonometria


Pitagoras był greckim filozofem, który żył ponad 2500 lat temu. Przypisuje mu się szereg ważnych odkryć matematycznych i naukowych, z których prawdopodobnie najbardziej znaczące stało się znane jako twierdzenie Pitagorasa.

To ważna zasada, która ma zastosowanie tylko do trójkątów prostokątnych . Tu jest napisane „Kwadrat na przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów z dwóch pozostałych stron”.

Brzmi to dość skomplikowanie, ale w rzeczywistości jest to dość prosta koncepcja, gdy widzimy to na schemacie:

brak kontaktu wzrokowego podczas rozmowy
Pitagoras

Twierdzenie Pitagorasa mówi:

dodwa+ bdwa= cdwa

Tak więc, jeśli znamy długość dwóch boków trójkąta i musimy obliczyć trzeci, możemy użyć twierdzenia Pitagorasa.

Jeśli jednak znamy tylko jedną długość boku i jeden z wewnętrznych kątów, to Pitagoras sam w sobie nie jest dla nas przydatny i musimy użyć trygonometrii.


Przedstawiamy sinus, cosinus i styczną

Istnieją trzy podstawowe funkcje trygonometrii, z których każda jest jedną stroną trójkąta prostokątnego podzieloną przez drugą.

Te trzy funkcje to:

Nazwa Skrót Stosunek do boków trójkąta
Sinus Bez Sin (θ) = naprzeciwko / przeciwprostokątna
Cosinus Cos Cos (θ) = sąsiedni / przeciwprostokątna
Tangens Więc Tan (θ) = Naprzeciwko / sąsiadująco


Obliczanie sinusa, cosinusa i stycznej

Pomocne może być zapamiętanie sinusa, cosinusa i stycznej jako SOH CAH TOA.

Zapamiętywanie funkcji trygonometrycznych może być trudne i zagmatwane na początku. Nawet SOH CAH TOA może być trudne. Możesz spróbować wymyślić zabawny mnemonik, który pomoże Ci zapamiętać. Po prostu trzymaj każdą grupę trzech liter w tej samej kolejności.

Na przykład TOA SOH CAH może być ' T on LUB ld DO archeolog S w LUB n H. jest do owies DO nd H. w'.

Najlepsza wskazówka!


Ze względu na relacje między nimi Tan θ można również obliczyć jako:
Sin θ / Cos θ.

To znaczy że:

  • Sin θ = Cos θ × Tan θ i
  • Cos θ = Sin θ / Tan θ.

Trygonometria w kole

Aby dowiedzieć się więcej o kręgach lub szybko przypomnieć sobie, zajrzyj na naszą stronę Koła i zakrzywione kształty .

Rozważając trójkąty, jesteśmy ograniczeni do kątów mniejszych niż 90 °. Jednak trygonometria ma jednakowe zastosowanie do wszystkich kątów, od 0 do 360 °. Aby zrozumieć, jak funkcje trygonometryczne działają z kątami większymi niż 90 °, warto pomyśleć o trójkątach zbudowanych w okręgu.

Współrzędne kartezjańskie koła.

Rozważmy okrąg podzielony na cztery ćwiartki.

matryca ma kształt bryły

Tradycyjnie środek koła jest traktowany jako współrzędna kartezjańska (0,0). Oznacza to, że wartość x wynosi 0, a wartość y wynosi 0. Więcej informacji na ten temat można znaleźć na naszej stronie współrzędne kartezjańskie .

Wszystko na lewo od środka ma wartość x mniejszą niż 0 lub jest ujemne, podczas gdy wszystko po prawej stronie ma wartość dodatnią.

Podobnie wszystko poniżej punktu środkowego ma wartość y mniejszą niż 0 lub jest ujemne, a każdy punkt w górnej części okręgu ma dodatnią wartość y.


Używanie okręgu z funkcjami trygonometrycznymi dla kątów większych niż 90 °.

Diagram ja pokazuje, co się stanie, jeśli narysujemy promień od środka koła w prawo wzdłuż osi x (mówimy, że jest to w kierunku dodatnim).

Następnie obracamy promień w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt theta θ. Tworzy to trójkąt prostokątny.

Bez θ = naprzeciwko (czerwona linia)
przeciwprostokątna (niebieska linia)

Cos θ = sąsiedni (zielona linia)
przeciwprostokątna (niebieska linia)

W Diagram yl , obróciliśmy promień dalej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, poza pionową (oś y) do następnej ćwiartki. Tutaj θ jest kątem rozwartym między 90 ° a 180 °. Kąt odniesienia alfa α jest równy 180 ° - is i jest kątem ostrym wewnątrz trójkąta prostokątnego.

Sin θ = Sin α = naprzeciwko (czerwona linia)
przeciwprostokątna (niebieska linia)

Zarówno niebieska, jak i czerwona linia są dodatnie, więc sin θ jest dodatni.

Cos θ = −Cos α = sąsiedni (zielona linia)
przeciwprostokątna (niebieska linia)

Cos θ jest ujemny, ponieważ zielona linia jest ujemna (leży wzdłuż osi x na lewo od początku (0,0), więc znajduje się w ujemnej sekcji osi x).

W Diagram iii , promień obrócił się dalej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara do następnej ćwiartki, tak że wartość θ zawiera się między 180 ° a 270 °. Wszystkie zielone, czerwone i niebieskie linie mają wartości ujemne i α = θ - 180 °. Zatem wszystkie sinusy i cosinusy mają wartość dodatnią.

Diagram iv pokazuje ostatnią ćwiartkę. Wartość θ wynosi od 270 ° do 360 °, zielona linia jest dodatnia, ale czerwona i niebieska są ujemne. Grzech θ jest zatem dodatni, a Cos θ jest ujemny. α = 360 ° - θ.


Krąg jednostek

Plik „Koło jednostki” jest szczególnym przypadkiem koła pokazanego na diagramach powyżej. Koło jednostki ma promień 1.

Pracując z okręgiem jednostkowym możemy bezpośrednio zmierzyć cos, sin i tan:

Sinus, cosinus i styczna - koło jednostkowe

Wykresy sinusa, cosinusa i stycznej

Zależność między kątem a sin lub cos można przedstawić w postaci wykresu:

  • y = sin (θ)
  • y = cos (θ)
Sinus, wykres kosinusowy. www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

Możesz zobaczyć, że gdy θ wynosi 0, to jest sinus. Ma to sens, gdy spojrzysz na powyższy diagram koła jednostkowego. Gdy θ = 0, sąsiednia i przeciwprostokątna leżą wzdłuż dodatniej osi x, a czerwona linia, która pokazuje wartość sin θ, znika (nie ma trójkąta).

Wykres cosinusowy ma ten sam kształt co sinus, ale ma wartość 1, gdy θ = 0. Patrząc ponownie na okrąg powyżej, gdy θ = 0, sąsiednia i przeciwprostokątna leżą wzdłuż dodatniej osi x i mają tę samą wartość, więc sąsiedni / przeciwprostokątna = 1.

jaki wskaźnik masy ciała wskazuje, że dana osoba ma niedowagę

Cykliczna natura wykresów sinus i cosinus jest niezwykle ważna w nauce, przyrodzie i inżynierii. Przykłady obejmują zastosowania elektryczne (prąd przemienny), fale dźwiękowe i radiowe, prosty ruch harmoniczny (taki jak wahadło), trajektorię satelitów lub wznoszenie i opadanie przypływu.

Plik amplituda cyklicznego wzorca fali to wartość „piku” na wykresie, tj. odległość od osi x do wartości maksymalnej lub minimalnej. Na powyższych wykresach sinus i cosinus amplituda ma wartość 1. W zastosowaniach, takich jak dźwięk lub prąd elektryczny, amplituda zmienia się w zależności od głośności dźwięku lub wielkości prądu. Amplituda pływów również się zmienia, w zależności od położenia księżyca i jego „przyciągania” do ziemi.

Charakterystyka wykresu stycznego (tan θ) jest zupełnie inna. Wykres styczny nie ma rozszerzenia amplituda (charakterystyka falowa), ponieważ nie ma maksymalnych ani minimalnych wartości szczytowych. Zmienia się od −∞ do + ∞ (ujemna i dodatnia nieskończoność) przechodząc przez 0 co 180 °:

Wykres stycznych.

Mówi się, że w nieskończoności (dodatniej lub ujemnej) jest nieokreślony. Możemy lepiej zrozumieć ten wykres, gdy rozważymy równanie tan θ = sin θ / cos θ. Ilekroć sin θ jest równy zero, to tan θ również musi wynosić zero. I odwrotnie, ilekroć cos θ wynosi zero, to mianownik w równaniu staje się zerowy. Wszystko podzielone przez zero ma wartość nieskończoności, więc wartości θ, które mają cosinus równy zero, mają również styczną nieskończoności na wykresie. Nieskończoność nie ma dokładnej wartości, więc linie na wykresie stycznym stają się coraz bardziej pionowe, gdy oś y rośnie do coraz większych wartości. Linie zbliżają się coraz bardziej do pionowych linii na wykresie dla poszczególnych wartości θ, na przykład pod kątem 90 °. Każda z tych pionowych linii nazywana jest asymptota .

Odwrotność sinusa, cosinusa i stycznej

Możesz również obliczyć funkcję odwrotną do sin, cos i tan, co oznacza, że ​​1 podzielone przez tę funkcję. Są oznaczone jako sin / cos / tan -1. To pozwala ci obliczyć kąt, jeśli masz grzech, cos lub tan.

Innymi słowy:

  • Grzech (90) = 1
  • Grzech - 1 (1) = 90 °

Trygonometria i kalkulatory


Kalkulatory naukowe mają funkcje sin, cos i tan, a także funkcje odwrotne. Warto poświęcić kilka minut, aby dowiedzieć się, jak działa kalkulator, ponieważ może to zaoszczędzić wiele godzin, gdy będziesz go potrzebować.


Inne trójkąty i trygonometria

Trygonometria działa również dla innych trójkątów, tylko że nie w taki sam sposób. Zamiast tego istnieją dwie zasady oparte na takim trójkącie:

Trójkąty w trygonometrii

Zasada sinusa to:

do/bez=b/bez B=do/bez C

Zasada kosinusowa to:

dodwa= adwa+ bdwa- 2ab cos (C)


Dlaczego potrzebuję trygonometrii?

To rozsądne pytanie, a odpowiedź przynajmniej częściowo wynika z tego, że ci, którzy decydują o programie nauczania matematyki w wielu krajach, uważają, że powinieneś o tym wiedzieć i nie bez powodu.

Uważa się, że trygonometria jest najważniejszym związkiem matematycznym, jaki kiedykolwiek odkryto. Trójkąty są jedną z najprostszych form występujących w przyrodzie, ale ich matematyka ma kluczowe znaczenie, zwłaszcza tam, gdzie potrzebne są precyzyjne pomiary odległości. Kiedy zaczynamy myśleć o zastosowaniach, w których ważne są dokładne odległości, widać, że są ich dziesiątki, w tym nawigacja w systemach morskich i lotniczych, astronomia, systemy satelitarne, badania geograficzne i kartografia (mapy), architektura i inżynieria budowlana, projektowanie graficzne i obrazy generowane komputerowo.

Wiele z nich opiera się na technice pomiarowej znanej jako triangulacja , który stosuje pojęcia trygonometrii.

Przykład: trygonometria i nawigacja

Kiedy żeglujesz lub pływasz po morzu, na które kończysz, wpływają:

  • Kierunek, w którym sterujesz;
  • Prędkość, z jaką poruszasz się w tym kierunku (tj. Prędkość silnika lub wiatru); i
  • Kierunek i prędkość przypływu.

Możesz jechać w jednym kierunku, ale przypływ może nadejść z jednej strony i popchnąć Cię na drugą. Będziesz potrzebował trygonometrii, aby obliczyć, jak daleko będziesz podróżować i w jakim dokładnie kierunku.

Wypracowanie kierunku podróży za pomocą trygonometrii.

Całkiem słusznie zrozumiałeś, że nie jest to takie proste, ponieważ rzeczywisty kierunek podróży zależy od prędkości przypływu i twojej prędkości, ale prawdopodobnie rozumiesz, dlaczego trygonometria może być ważna!


Przykład praktyczny

Wypływasz na całodniowy rejs i nie przejmujesz się tym, gdzie skończysz. Zacząłeś kierować się na wschód i planujesz płynąć przez godzinę z prędkością przelotową 10 km / h. Przypływ płynie na północ z prędkością 5 km / h. W jakim kierunku ostatecznie udasz się w podróż?

  1. Najpierw narysuj swój trójkąt i oznacz boki. Kierujesz się dokładnie na wschód, zróbmy więc dno trójkąta o długości 10 km. Fala popchnie cię na północ, więc zróbmy to po prawej stronie. Chcesz wiedzieć, w jakim kierunku pójdziesz, więc to jest kąt θ.

    Przykład trygonometrii
  2. Masz przeciwieństwo i sąsiednie, co oznacza, że ​​musisz użyć stycznej. Tan θ = naprzeciwko / sąsiadująco = 5/10 = 0,5.

  3. Nadszedł czas, aby użyć funkcji odwrotnej tan. Odwrotna opalenizna 0,5 wynosi 26,6 °. Innymi słowy, tan 26,6 = 0,5.

  4. Kompas Kierunek (Twój „kurs” w nawigacji) jest mierzony od północy , co na kompasie wynosi 0 °. Twoja odpowiedź z (3) jest jednak mierzona od 90 °, czyli od wschodu. Dlatego też będziesz musiał odjąć swoją odpowiedź od 90 °, aby otrzymać odpowiedź: Podróżujesz w kierunku (kurs) 63,4 °, czyli między północno-wschodnim (45 °) a wschodnio-północno-wschodnim (67,5 °).

Dlaczego to jest ważne? Oczywiście musisz wiedzieć, w którym kierunku podróżowałeś, aby móc płynąć do domu!

W prawdziwym życiu musisz również pamiętać, że do tego czasu przypływ mógł się zmienić…

jak znaleźć obszar o dowolnym kształcie

Wniosek

Trygonometria może nie mieć wielu codziennych zastosowań, ale pomaga łatwiej pracować z trójkątami. Jest to przydatne uzupełnienie geometrii i rzeczywistych pomiarów i jako takie warte jest zrozumienia podstaw, nawet jeśli nigdy nie chcesz robić dalszych postępów.

Kontynuuj:
Geometria
Wprowadzenie do algebry